Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). \(AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) sao cho tam giác \(O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) một góc \(60^\circ \). Tính theo \(R\) thể tích \(V\) của khối trụ đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(O'I \bot AB,OI \bot AB\).
Suy ra góc giữa \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O;R} \right)\) là góc giữa \(O'I\) và \(OI\) hay \(\widehat {O'IO} = {60^0}\).
Đặt \(AI = x \Rightarrow AB = 2x\).
Tam giác vuông \(OIA\) có \(OA = R,AI = x\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \).
Tam giác \(O'AB\) đều cạnh \(AB = 2x \Rightarrow O'I = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \).
Tam giác \(O'OI\) vuông tại \(O\) nên \(\cos {60^0} = \dfrac{{OI}}{{O'I}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{x\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}\).
Suy ra \(OO' = O'I.\sin {60^0} = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}.\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\).
Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\) \(\left( {m \ne 0} \right)\). Chia \(f\left( x \right)\) cho \(x - 2\) được phần dư bằng \(2019\), chia \(f'\left( x \right)\) cho \(x - 2\) được phần dư bằng 2018. Gọi \(g\left( x \right)\) là phần dư khi chia \(f\left( x \right)\) cho \({\left( {x - 2} \right)^2}\). Giá trị của \(g\left( { - 1} \right)\) là
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left[ {\ln \left( {x - 2} \right)} \right]^\pi }\) là:
-
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 ,\,\,BB' = 2\).Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm của \(A'B',\,\,A'C',\,\,BC\). Nếu gọi \(\alpha \) là độ lớn của góc của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ACC'} \right)\) thì \(\cos \alpha \) bằng:
-
Tổng các nghiệm của phương trình \({4^x} - {6.2^x} + 2 = 0\) bằng:
-
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\) có đỉnh \(S\) và đáy là tam giác \(ABC\). Gọi \(V\) là thể tích của khối chóp. Mặt phẳng đi qua trọng tâm của ba mặt bên của khối chóp chia khối chóp thành hai phần. Tính theo \(V\) thể tích của phần chứa đáy của khối chóp.
-
Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \(48\) và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi \(h\) là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết \(h = \dfrac{m}{n}\) với \(m\), \(n\) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng \(m + n\) là
-
Cho \(n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(C_n^2.C_n^{n - 2} + C_n^8.C_n^{n - 8} = 2C_n^2.C_n^{n - 8}\) . Tổng \(T = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {n^2}C_n^n\) bằng:
-
Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích \(V\) cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính bằng 2. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cách \(O\) một khoảng bằng 1 và cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(\left( N \right)\) có đáy là \(\left( C \right)\), đỉnh thuộc \(\left( S \right)\), đỉnh cách \(\left( P \right)\) một khoảng lớn hơn \(2\). Kí hiệu \({V_1}\), \({V_2}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) và khối nón \(\left( N \right)\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) là
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây:
.JPG)
Hàm số \(y = f\left( {2x - 2} \right)\) nghịch biến trên khoảng:
-
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là giao của hai mặt phẳng \(x + z - 5 = 0\) và \(x - 2y - z + 3 = 0\) thì có phương trình là:
-
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\) đồng biến trên khoảng:
-
Cho \(n \in \mathbb{N}\) và \(n! = 1\). Số giá trị của \(n\) thỏa mãn giả thiết đã cho là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f'\left( 0 \right) \ne 0\) và thỏa mãn hệ thức\(f\left( x \right)/f'\left( x \right) + 18{x^2} = \left( {3{x^2} + x} \right)f'\left( x \right) + \left( {6x + 1} \right)f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = a{e^2} + b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của \(a - b\) bằng:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3mx + 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.
-
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng \(6\) và chiều cao bằng \(4\) là
-
Hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) đạt cực tiểu tại điểm
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
.JPG)
Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.
.JPG)
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right) + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Với \(a\) là số thực dương khác \(1\) tùy ý, \({\log _{{a^2}}}{a^3}\) bằng
