Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi I là trung điểm của CD. Trên tia AI lấy S sao cho \(\overrightarrow {AI}  = 2\overrightarrow {IS} \). Thể tích của khối đa diện ABCDS bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B'C'. Gọi \(\alpha \) là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (A'B'C'D'). Tính giá trị của \(\sin \alpha\)  

Cho khối tứ diện ABCD có \(BC = 3,CD = 4,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}\). Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng \(60^0\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng

Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị trên đoạn [- 1;4] như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)      

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số

\(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {2 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;{e^2}} \right)\)   

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 1}}\) là:

Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180km/ h. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc \(a\left( t \right) = 2t + 1\left( {m/{s^2}} \right)\). Hỏi rằng 4s sau khi tay đua nhấn ga thì xe đua chạy với vận tốc bao nhiêu km / h.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - 2\overrightarrow k \) và \(B\left( {m;m - 1; - 4} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để độ dài đoạn AB = 3.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right) = x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Đường thẳng d ' đối xứng với d  qua mặt phẳng (P) có phương trình là

Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {3^{x - 4}} + \left( {x + 1} \right){.2^{7 - x}} - 6x + 3\). Giả sử \({m_0} = \frac{a}{b}\) (\(a,b \in Z,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình \(f\left( {7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) + 2m - 1 = 0\) có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + {b^2}\)  

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô đen) là:

Biết rằng \(\int\limits_1^a {\ln xdx = 1 + 2a,\left( {a > 1} \right)} \). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?   

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x - 5\)  

Phương trình \(\log _3^2x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1, x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2}\) biết \(x_1<x_2\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng d.

Cho mặt cầu (S) có đường kính 10cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4cm. Khẳng định nào sau đây là sai?

Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\). Tính tổng của các phần tử trong T.

Biết phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?