Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\). Tính tổng của các phần tử trong T.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x \ne - {m^2}\)
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{\left( {x + {m^2}} \right)}^2}}}\)
Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ta có \(x \ne - {m^2} < 0 \Rightarrow x \in \left[ {2;3} \right] \Rightarrow \) hàm số luôn xác định với mọi m.
Có: \(y\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}};y\left( 3 \right) = \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}}\)
TH1: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' < 0\\
y\left( 2 \right) = \frac{5}{6}
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
{m^3} - 1 < 0\\
\frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
5{m^2} - 12m + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{2}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\)
TH2: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' > 0\\
y\left( 3 \right) = \frac{5}{6}
\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
{m^3} - 1 > 0\\
\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}} = \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
5{m^2} - 18m + 9 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \frac{3}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)
\( \Rightarrow T = 3 + \frac{2}{5} = \frac{{17}}{5}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tập hợp các số thực m để phương trình \({\log _2}x = m\) có nghiệm thực là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 2\overrightarrow k \) và \(B\left( {m;m - 1; - 4} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để độ dài đoạn AB = 3.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right) = x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
-
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R, thỏa mãn \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 3 \right) = 0\) và đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) có dạng như hình dưới đây. Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô đen) là:
.png)
-
Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy 2 điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({R^2}\sqrt 2 \), thể tích V của khối nón đã cho bằng
-
Phương trình \(\log _3^2x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1, x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2}\) biết \(x_1<x_2\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 6 = 0\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25;\,\,\,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 4z + 7 = 0\). Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu \((S_1), (S_2)\) và tâm I nằm trên (P) là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ (\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {1 - x} \right)\) bằng
-
Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) và \(\int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx = - 2} \). Giá trị \(2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(S:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và M(4;6;3). Qua M kẻ các tia Mx, My, Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định \(H\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a+3b-c\)
-
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\). Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh bằng nhau là
-
Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \(45^0\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.
-
Biết rằng \(\int\limits_1^a {\ln xdx = 1 + 2a,\left( {a > 1} \right)} \). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\). Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S. Chọn mệnh đề đúng?
