Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 6 = 0\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25;\,\,\,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 4z + 7 = 0\). Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu \((S_1), (S_2)\) và tâm I nằm trên (P) là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
\((S_1)\) có tâm O(0;0;0) và có bán kính \(R_1=5\).
\((S_2)\) có tâm K(-2;0;2) và có bán kính \(R_2=1\).
Ta thấy \(\overrightarrow {OK} = \left( { - 2;0;2} \right)\) vuông góc với mặt phẳng (P).
Do đó O, K, H thẳng hàng, với H là hình chiếu vuông góc của O xuống (P) và H cố định.
Ta có \(OH = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = 3\sqrt 2 ,KH = d\left( {K,\left( P \right)} \right) = \sqrt 2 \)
Ta thấy mặt cầu \((S_1)\) chứa \((S_2)\), \((S_1)\) cắt (P) nhưng \((S_2)\) không cắt (P).
Do đó mặt cầu tâm I phải tiếp xúc trong với \((S_1)\) và tiếp xúc ngoài với \((S_2)\)
Gọi R là bán kính mặt cầu tâm I. Suy ra:
\(OI=R_1-R=5-R,KI=R_2+R=1+R\).
Ta có:
.JPG)
Do vậy, I luôn thuộc mặt cầu \((S_3)\) tâm H, bán kính \({R_3} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Mà I thuộc mặt phẳng (P) nên I thuộc đường tròn giao tuyến của (P) và \((S_3)\).
Vì \(H \in (P)\) nên bán kính đường tròn giao tuyến là \(r={R_3} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Vậy diện tích là \(\pi {r^2} = \frac{7}{9}\pi \)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\). Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh bằng nhau là
-
Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
-
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Cho mặt cầu (S) có đường kính 10cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4cm. Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R, thỏa mãn \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 3 \right) = 0\) và đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) có dạng như hình dưới đây. Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là
-
Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q = - \frac{1}{2}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(S:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và M(4;6;3). Qua M kẻ các tia Mx, My, Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định \(H\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a+3b-c\)
-
Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \(45^0\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.
-
Trong khai triển Newton của biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^{2019}}\) số hạng chứa \(x^{18}\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) và \(\int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx = - 2} \). Giá trị \(2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị trên đoạn [- 1;4] như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)
.png)
-
Biết rằng thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x} + 1}} > 12\) có tập nghiệm \(S = \left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P = 3a + 10b\) là
-
Cho khối tứ diện ABCD có \(BC = 3,CD = 4,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}\). Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng \(60^0\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 1\\
z = - 2 + 3t
\end{array} \right.\) không đi qua điểm nào sau đây? -
Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right)\),
\(D\left( {0;2a;0} \right),A'\left( {0;0;2a} \right)\) với \(a \ne 0\). Độ dài đoạn thẳng AC' là
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ (\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\) là
-
Phương trình \(\log _3^2x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1, x_2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2}\) biết \(x_1<x_2\)
