Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\). Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S. Chọn mệnh đề đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDễ dàng tính được \(AB = BC = CD = DA = \sqrt 2 \Rightarrow \) Tứ diện ABCD là tứ diện đều.
\(\Rightarrow \) Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD \( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\)
Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) là tâm của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\
\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của (ACD).
\(\Rightarrow \) Phương trình (ACD) là: \(\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \left( {y + \frac{1}{2}} \right) + \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - \frac{1}{2} = 0\)
\(d\left( {I;\left( {ACD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)\). Do đó mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow S = \pi {R^2} = \frac{\pi }{6}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Hưng Yên lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
-
Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \(45^0\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R, thỏa mãn \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 3 \right) = 0\) và đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) có dạng như hình dưới đây. Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R và có đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô đen) là:
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số
\(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln x + \left( {2 - m} \right)x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;{e^2}} \right)\)
-
Cho khối tứ diện ABCD có \(BC = 3,CD = 4,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}\). Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng \(60^0\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ (\overrightarrow i\) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right)\) là
-
Cho các số thực \(a, b, c, d\) thay đổi luôn thỏa mãn \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} = 1\) và \(4c + 3d - 5 = 0\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(T = {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 1\\
z = - 2 + 3t
\end{array} \right.\) không đi qua điểm nào sau đây? -
Biết rằng \(\int\limits_1^a {\ln xdx = 1 + 2a,\left( {a > 1} \right)} \). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
-
Cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x} + 1}} > 12\) có tập nghiệm \(S = \left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P = 3a + 10b\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị trên đoạn [- 1;4] như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx} \)
.png)
-
Biết phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 2\overrightarrow k \) và \(B\left( {m;m - 1; - 4} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để độ dài đoạn AB = 3.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {3^{x - 4}} + \left( {x + 1} \right){.2^{7 - x}} - 6x + 3\). Giả sử \({m_0} = \frac{a}{b}\) (\(a,b \in Z,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình \(f\left( {7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) + 2m - 1 = 0\) có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + {b^2}\)
-
Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi I là trung điểm của CD. Trên tia AI lấy S sao cho \(\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {IS} \). Thể tích của khối đa diện ABCDS bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 6 = 0\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25;\,\,\,\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 4z + 7 = 0\). Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu \((S_1), (S_2)\) và tâm I nằm trên (P) là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(S:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và M(4;6;3). Qua M kẻ các tia Mx, My, Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định \(H\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a+3b-c\)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [1;3], thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) và \(\int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx = - 2} \). Giá trị \(2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
