Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = 90^\circ ;AB = a;\;AC = a\sqrt 5 ;\;\widehat {ABC} = 135^\circ \). Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng 30o. Thể tích của tứ diện ABCD là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVẽ \(AH \bot \left( {BCD} \right),H \in \left( {BCD} \right)\)
Vẽ \(HK\,{\rm{//}}\,BC,K \in BD\) có \(BD \bot BC \Rightarrow HK \bot BD\) mà \(AH \bot BD\).
\( \Rightarrow BD \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BD \bot AK\).
Nên \(\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right)\, = \,\,\widehat {AKH}\,\, = 30^\circ \)
Vẽ \(HM\,{\rm{//}}\,BD,M \in BD\) có \(BC \bot BD \Rightarrow HM \bot BC\) mà \(AH \bot BC\).
\(\Rightarrow BC \bot AM\), có góc \(\widehat {ABC} = 135^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) (nên B ở giữa M và C).
\(\Delta AMB\) vuông tại M có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \).
Suy ra \(\Delta AMB\) vuông cân tại B \( \Rightarrow AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Tứ giác BKHM là hình chữ nhật, nên BM = HK.
Tam giác AHK vuông tại H có \(\widehat {AKH} = 30^\circ \), nên \(AH = \frac{{HK}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}\)
Tam giác BAD vuông tại A có AK là đường cao nên \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\).
\( \Rightarrow \frac{3}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \) và \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 \).
Có \(BC = CM - BM,C{M^2} = C{A^2} - A{M^2} = 5{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{9{a^2}}}{2}\)
Có \(V = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}AH.BD.BC = \frac{1}{6}\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 3 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Vậy \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Viết Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\)
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
-
Với f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên khoảng K và k khác 0 thì mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2021}}{{x + 1}}\)
-
Tính diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l = 5 bán kính đáy r = 4.
-
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {2x - 5} \right) > 2\).
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 5)^2} = 25\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S).
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2;g\left( x \right) = x + 2\) là:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 là:
.PNG)
-
Nghiệm của phương trình \({2^{3x - 7}} = 32\) là
-
Bất phương trình \({\log _2}(3x - 2) > {\log _2}(6 - 5x)\) có tập nghiệm là (a;b). Tổng a + b bằng
-
Kết quả (b;c) của việc gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai \({x^2} + bx + c = 0\). Xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm là
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \((d):\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)?
-
Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(a = 4,{\rm{ }}b = 5,{\rm{ }}c = 6\)
-
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overline z + 1 + 2i} \right| = 1\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\), trong đó (m,n,p,q,r \in R\). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên dưới.
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = SB = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 3y - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích hình tròn đáy của hình nón bằng \(9 \pi\). Tính đường cao h của hình nón.
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2\sqrt 3 a\). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
