Cho phương trình \({{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x=2\left( {{\sin }^{2020}}x+{{\cos }^{2020}}x \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\cos x=0\), ta có 1+0=2.(1+0). Vậy \(\cos x=0\) không là nghiệm của phương trình.
Chia cả 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2020}}x\ne 0, \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}.{{\tan }^{2018}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\left( 1 \right)\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 1+{{\tan }^{2}}x \right){{\tan }^{2018}}x+1+{{\tan }^{2}}x=2\left( {{\tan }^{2020}}x+1 \right)\)
Đặt t=tan x, phương trình trở thành \(\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2}} \right){{\operatorname{t}}^{2018}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2\left( 1+{{\operatorname{t}}^{2020}} \right)\Leftrightarrow {{\operatorname{t}}^{2018}}+{{\operatorname{t}}^{2020}}+1+{{\operatorname{t}}^{2}}=2+2{{\operatorname{t}}^{2020}}\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2020}}+1-{{t}^{2018}}-{{t}^{2}}=0 \Leftrightarrow {{t}^{2018}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)-\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0 \Leftrightarrow \left( {{t}^{2018}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \tan x=\pm 1\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Do \(x\in \left( 0;2018 \right) \Rightarrow 0<\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}<2018 \Rightarrow 0\le k\le 1284,k\in \mathbb{Z}\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\) bằng
\(\frac{\pi }{4}.1285+\left( 1+2+...+1284 \right)\frac{\pi }{2} =\frac{\pi }{4}.1285+\frac{1284.1285}{4}\pi ={{\left( \frac{1285}{2} \right)}^{2}}\pi \)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m-1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
-
Tập giá trị của hàm số \(y={{a}^{x}}\,\,\,(a>0;a\ne 1)\) là:
-
Cho V là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h. V được cho bởi công thức nào sau đây:
-
Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2\cos 2x}\), với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}\) là
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn : \(z-\left( 2+3i \right)\overline{z}=1-9i\). Giá trị của ab+1 là :
-
Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2}\) có đúng hai tiệm cận đứng.
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( 2x-1 \right)}^{-2}}\)
-
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \({d}'\) là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z+3=0.\) Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến \(\left( P \right)\) bằng 2.
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ:
.PNG)
Đồ thị hàm số y=f(x) có mấy điểm cực trị?
-
Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SA=SB=SC=a, Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:
-
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc \(45{}^\circ \). Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\) có nghiệm \(x\ge 1.\)?
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+6=0\). Trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo âm. Giá trị biểu thức \(M=|{{z}_{1}}|+|3{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|\) là:
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh a và \(A{B}'\) vuông góc với \(B{C}'\). Thể tích của lăng trụ đã cho là.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x+y+z-1=0\). Gọi d là đường thẳng nằm trên \(\left( \alpha \right)\) đồng thời cắt đường thẳng \(\Delta \) và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( 2;1;2 \right)\) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{2m+1-x}}+{{\log }_{3}}\sqrt{x-m}\) xác định trên \(\left( 2;3 \right)\).
-
Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P(n)=480-20n\). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất?
