Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với \(AB = BC = \frac{{AD}}{2} = a\) . Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật có và thuộc hai đáy của hình trụ, \(AB = 4a,AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ.

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB=6cm, AC=8cm\). Gọi \(V_1\) là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và \(V_2\) là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC. Khi đó, tỷ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:

Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và điểm A cố định nằm ngoài mặt cầu với \(OA=d\). Qua A kẻ đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left( {O;R} \right)\) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên bằng \(2a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là:

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính, \(R=3cm\), góc ở đỉnh hình nón là \(\varphi  = 120^0 \). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, \(BD=2a\). Tam giác SAC vuông cân tạiÁC và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó là

Cắt một khối trụ cho trước thành hai phần thì được hai khối trụ mới có tổng diện tích toàn phần nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu \(32\pi \,{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\). Biết chiều cao của khối trụ ban đầu là 7 dm, tính tổng diện tích toàn phần S của hai khối trụ mới.

Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60cm, diện tích đáy \(900\pi cm^2\). Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ qua kích thước các mép gấp).

Cho hình tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD. Các điểm G, H lần lượt trên cạnh AC, CD sao cho NH cắt MG tại I. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là 2. Quay tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần \(S_{tp}\) của hình trụ đó.

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \(S_1, S_2\) lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính \(S=S_1+S_2\) \(cm^2\).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A, \(AB = AC = a,AA' = \sqrt 2 a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB'A'C là

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao \(h = 20\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\), bán kính đáy \(r = 25\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Tính diện tích của thiết diện đó.

Cho một khối nón có chiều cao bằng 4cm, độ dài đường sinh 5cm. Tính thể tích khối nón này.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại  A, B. Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = BC = a,AD = 2a,SA = a\sqrt 2 \).  Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E.

Một hình nón có đường sinh bằng \(a\) và góc ở đỉnh bằng \(90^0\). Cắt hình nón bằng một mặp phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho góc giữa \(\left( \alpha  \right)\) và mặt đáy hình nón bằng \(60^0\). Khi đó diện tích thiết diện là

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và diện tích xung quanh bằng \(2\pi {a^2}\) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, \(SA=a, AD = 5a,\;AB = 2a.\) Điểm E thuộc cạnh BC sao cho \(CE=a\). Tính theo \(a\) bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.AED.