Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(A'B'\). Mặt phẳng \(\left( {MND'} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm \(C\) gọi là \(\left( H \right)\). Tính thể tích khối \(\left( H \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gọi \(G = D'N \cap B'C'\), \(GM\) cắt \(BB',CC'\) lần lượt tại \(I,H\), \(HD' \cap DC = J\).
Do đó thiết diện là ngũ giác \(MJD'NI\).
Thể tích khối đa diện cần tính
\({V_{\left( H \right)}} = {V_{CMJINB'CD'}} = {V_{H.GD'C'}} - {V_{H.MCJ}} - {V_{GB'IN}}\).
Vì \(NB'//C'D'\) nên \(\dfrac{{GB'}}{{GC'}} = \dfrac{{NB'}}{{C'D'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow GC' = 2B'C' = 2a\).
Lại có \(MB//GB' \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{GB'}} = \dfrac{{BI}}{{IB'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow IB' = \dfrac{2}{3}a,IB = \dfrac{a}{3}\).
Tam giác \(\Delta MIB = \Delta MHC \Rightarrow HC = IB = \dfrac{a}{3}\). Mà \(JC//D'C' \Rightarrow \dfrac{{JC}}{{D'C'}} = \dfrac{{HC}}{{HC'}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{3} + a}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow JC = \dfrac{a}{4}\).
Thể tích \({V_{H.GD'C'}} = \dfrac{1}{3}{S_{GD'C'}}.HC' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}C'D'.C'G.HC' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.2a.\dfrac{4}{3}a = \dfrac{4}{9}{a^3}\).
Thể tích \({V_{H.CJM}} = \dfrac{1}{3}{S_{CMJ}}.HC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{4}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{{144}}\).
Thể tích \({V_{I.GB'N}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.B'G.B'N.IB' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2}{3}a = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).
Vậy thể tích khối đa diện \(\left( H \right)\) là: \(\dfrac{4}{9}{a^3} - \dfrac{{{a^3}}}{{144}} - \dfrac{{{a^3}}}{{18}} = \dfrac{{55{a^3}}}{{144}}\).
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Võ Chí Công
Câu hỏi liên quan
-
Mỗi bạn An , Bình chọn ngẫu nhiên \(3\) chữ số trong tập \(\left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\). Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An, Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm kết luận đúng.
.JPG)
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _{0,25}}\left( {{x^2} - 3x} \right) = - 1\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) có nghiệm \(x \in \left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi
.JPG)
-
Giả sử \(p,q\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{16}}p = {\log _{20}}q = {\log _{25}}\left( {p + q} \right).\) Tìm giá trị của \(\frac{p}{q}\)
-
Với \(n\) là số nguyên dương, biểu thức \(T = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n\) bằng
-
Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là \(4\). Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là:
-
Hình lập phương có độ dài đường chéo là \(6\) thì có thể tích là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 ,AB = a,BC = 2a,AC = a\sqrt 5 \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0\) có bao nhiêu nghiệm âm?
.JPG)
-
Gọi \(\left( {a;b} \right)\) là tập các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{e^{2x}} - 8{e^x} - m = 0\) có đúng hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\ln 5} \right)\). Tổng \(a + b\) là
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC\) và \(BCD\) là các tam giác đều cạnh \(2,\) hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)
-
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y\\{2^x} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\), \(m\) là tham số. Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên để hệ \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử?
-
Cho lăng trụ \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\) có diện tích mặt bên \(AB{B_1}{A_1}\) bằng \(4\), khoảng cách giữa cạnh \(C{C_1}\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)\) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC{A_1}{B_1}{C_1}\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 8\). Tính tổng các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {\left| {x - 1} \right|} \right) + m = 2\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x - 3} \right)^4}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} \right)\).
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,SB,SC,SD\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) biết thể tích khối chóp \(S.MNPQ\) là \(1\).
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\). Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SHK} \right)\)
-
Một khối nón có bán kính đáy bằng \(3\) và góc ở đỉnh bằng \(60^\circ \) thì có thể tích bằng bao nhiêu?
