Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2} \right)\in \left( C \right)\,,\,\left( {{x}_{0}}\ne 2 \right)\). Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
\(\Delta :y=-\frac{3}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}(x-{{x}_{0}})+\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}\).
Giao điểm của \(\Delta \) với tiệm cận đứng là \(A\left( 2;\,\,\frac{2{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2} \right)\).
Giao điểm của \(\Delta \) với tiệm cận ngang là \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;\,\,2 \right)\).
Xét \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2+2{{x}_{0}}-2=2{{x}_{0}} \\ & {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=\frac{2{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}+2=2.\frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}=2{{y}_{0}} \\ \end{align} \right.\)⇒ M là trung điểm của AB.
\(\Delta \,IAB\) vuông tại I nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB.
\(\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\pi I{{M}^{2}}=\pi \left[ {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}+{{\left( \frac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}-2}-2 \right)}^{2}} \right]=\pi \left[ {{({{x}_{0}}-2)}^{2}}+\frac{9}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}} \right]\ge 6\pi \)
Dấu ''='' xảy ra khi \({{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=\frac{9}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=\,\,\,\,\sqrt{3}+2\Rightarrow {{y}_{0}}=\,\,\,\,\,\sqrt{3}+2 \\ & {{x}_{0}}=-\sqrt{3}+2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\sqrt{3}+2 \\ \end{align} \right.\).
Với \({{x}_{0}}=\,\,\,\,\sqrt{3}+2\Rightarrow \Delta :y=-x+2\sqrt{3}+4\) cắt 2 trục tọa độ tại \(E\left( 0;\,\,2\sqrt{3}+4 \right)\) và \(F\left( \,2\sqrt{3}+4;\,\,0 \right)\), suy ra \({{S}_{OEF}}=\frac{1}{2}\,OE.OF=14+8\sqrt{3}\approx 27,8564\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ:
.PNG)
Đồ thị hàm số y=f(x) có mấy điểm cực trị?
-
Biết \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}}\text{d}x=4+a\ln 2+b\ln 5\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính S=a+b.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;\,1;\,1 \right)\) và \(B\left( 0;\,-1;\,1 \right).\) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( 2x-1 \right)}^{-2}}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\). Tính môđun nhỏ nhất của z-i.
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức
-
Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn : \(z-\left( 2+3i \right)\overline{z}=1-9i\). Giá trị của ab+1 là :
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z+3=0.\) Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến \(\left( P \right)\) bằng 2.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Cắt khối lăng trụ \(MNP.{M}'{N}'{P}'\) bởi các mặt phẳng \(\left( M{N}'{P}' \right)\) và \(\left( MN{P}' \right)\) ta được những khối đa diện nào?
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2\) là hàm số nào trong các hàm số sau?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
-
Cho phương trình \({{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x=2\left( {{\sin }^{2020}}x+{{\cos }^{2020}}x \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( 0;2018 \right)\).
-
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m-1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
-
Phương trình \({{3}^{1-x}}=2+{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\) có bao nhiêu nghiệm âm?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x+y+z-1=0\). Gọi d là đường thẳng nằm trên \(\left( \alpha \right)\) đồng thời cắt đường thẳng \(\Delta \) và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là:
-
Biết phương trình \({{4}^{{{\log }_{9}}x}}-{{6.2}^{{{\log }_{9}}x}}+{{2}^{{{\log }_{3}}27}}=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Khi đó \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) bằng :
-
Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2}\) có đúng hai tiệm cận đứng.
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
-
Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
