Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 2x-4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,x\ge 4 \\ & \frac{1}{4}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x\,\,\,\text{khi}\,x<4 \\ \end{align} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 2{{\sin }^{2}}x+3 \right)\sin 2x\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{align} & \underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-4 \right)=4;\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{4}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x \right)=4;f\left( 4 \right)=4 \\ & \Rightarrow \underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 4 \right) \\ \end{align}\)
Nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=4\)
Xét \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 2{{\sin }^{2}}x+3 \right)\sin 2x\text{d}x}\)
Đặt \(2{{\sin }^{2}}x+3=t\)\(\Rightarrow \)\(\sin 2x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}t\)
Với \(x=0\)\(\Rightarrow t=3\)
\(x=\frac{\pi }{2}\)\(\Rightarrow t=5\)
\(\Rightarrow I=\int\limits_{3}^{5}{f\left( t \right)\frac{1}{2}\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{4}{\left( \frac{1}{4}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+t \right)\text{d}t}+\frac{1}{2}\int\limits_{4}^{5}{\left( 2t-4 \right)\text{d}t}=\frac{341}{96}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Du lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\)?
-
Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là \(\frac{r}{2}\) và chiều cao h là
-
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}-6x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;3 \right]\). Khi đó 2M-m có giá trị bằng
-
Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\).
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{3}, SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng:
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức \({{z}_{1}}\) có điểm biểu diễn M, số phức \({{z}_{2}}\) có điểm biểu diễn là N thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\), \(\,\left| {{z}_{2}} \right|=3\) và \(\widehat{MON}=120{}^\circ \). Giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i \right|\) là \({{M}_{0}}\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| 3{{\text{z}}_{1}}-2{{z}_{2}}+1-2i \right|\) là \({{m}_{0}}\). Biết \({{M}_{0}}+{{m}_{0}}=a\sqrt{7}+b\sqrt{5}+c\sqrt{3}+d\), với \(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\). Tính a+b+c+d ?
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25\) có tâm là
-
Cho hai số phức z và \(\text{w}\) thỏa mãn z=-i+2 và \(\overline{\text{w}}=-3-2i\). Số phức \(\overline{z}.\text{w}\) bằng:
-
Cho \(\int\limits_{2}^{3}{f(x)\text{d}x}=-2\) . Tính \(I=\int\limits_{-\frac{3}{2}}^{-1}{f(-2x)\text{d}x}\) ?
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm \(I\left( 3;-1;2 \right)\) và tiếp xúc với trục \(Ox\) có phương trình là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
.png)
Số điểm cực trị của hàm số là
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;5 \right)\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\) Cho \(d\,:\,\,\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-3}{2}\) và hai điểm \(A\left( \,3;\,1;\,2 \right);\,\,B\left( \,-1;\,3;-2 \right)\) Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R\) đi qua hai điểm hai điểm \(A,\,B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d.\) Khi \(R\) đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,I\) là \(\left( P \right):\,\,2x+by+c\text{z}+d=0.\) Tính \(d+b-c.\)
-
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3,4,12 có độ dài là
-
Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ \(\overset\frown{MBN}\), phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.
.PNG)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(SA\bot \left( ABC \right)\), AB=a. Biết góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích khối chóp S.ABC bằng
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\) trong hình bên. Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\). Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right);M,\,\,N,\,\,K\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, \({{S}_{2}}\) là diện tích tam giác NBK. Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg.png)
-
Hình trụ có đường cao h=2cm và đường kính đáy là 10cm. Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2021}^{x}}\) là:
