Cho hàm số \(f(x)\)có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-3x}},\forall x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\) và \(f(-1)=\frac{2}{3}\). Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) thỏa mãn \(F(-1)=0\). Giá trị của \(F\left( \frac{1}{4} \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(f(x)=\int{\frac{1}{\sqrt{1-3x}}\text{d}x=}-\frac{2}{3}\sqrt{1-3x}+{{C}_{1}}.\)
Mà \(f(-1)=\frac{2}{3}\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\sqrt{1-3(-1)}+{{C}_{1}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=2.\)
Khi đó \(f(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{1-3x}+2.\)
Lại có \(F(x)=\int{\left( -\frac{2}{3}\sqrt{1-3x}+2 \right)\text{d}x=}\int{\left[ -\frac{2}{3}{{\left( 1-3x \right)}^{\frac{1}{2}}}+2 \right]\text{d}x=}\frac{4}{27}{{\left( 1-3x \right)}^{\frac{3}{2}}}+2x+{{C}_{2}}\).
Mà \(F(-1)=0\Leftrightarrow \frac{4}{27}{{\left( 1+3 \right)}^{\frac{3}{2}}}-2+{{C}_{2}}=0\Leftrightarrow {{C}_{2}}=\frac{22}{27}.\)
Vậy \(F(x)=\frac{4}{27}{{\left( 1-3x \right)}^{\frac{3}{2}}}+2x+\frac{22}{27}\)\(\Rightarrow F\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{4}{3}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Herman-Gmeiner