Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -2021\,;\,2022 \right)\) để hàm số \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|\) có đúng 3 điểm cực trị?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f(x)=\frac{1}{6}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+C\).
Mà \(f(0)=0\)\(\Leftrightarrow C=0\).
Do đó, \(f(x)=\frac{1}{6}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x\).
Đặt \(h\left( x \right)={{f}^{2}}(x)+2f(x)+m\).
\({h}'\left( x \right)=2{f}'(x).f(x)+2{f}'(x)=2{f}'(x)\left( f(x)+1 \right)\).
\({h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {f}'(x)=0 \\ & f(x)=-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\,\,\,\vee \,\,\,x=1 \\ & x=a\approx -0,4920 \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\)
Từ bảng biến thiên, \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|=\left| h(x) \right|\) có đúng 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow 0\le -1+m\Leftrightarrow m\ge 1\). Mà
\(\left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{Z} \\ & m\in \left( -2021\,;\,2022 \right) \\ \end{align} \right.\)
nên có \(2021\) giá trị \(m\) thỏa yêu cầu.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Herman-Gmeiner