Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -2021\,;\,2022 \right)\) để hàm số \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|\) có đúng 3 điểm cực trị?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f(x)=\frac{1}{6}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x+C\).
Mà \(f(0)=0\)\(\Leftrightarrow C=0\).
Do đó, \(f(x)=\frac{1}{6}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x\).
Đặt \(h\left( x \right)={{f}^{2}}(x)+2f(x)+m\).
\({h}'\left( x \right)=2{f}'(x).f(x)+2{f}'(x)=2{f}'(x)\left( f(x)+1 \right)\).
\({h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {f}'(x)=0 \\ & f(x)=-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\,\,\,\vee \,\,\,x=1 \\ & x=a\approx -0,4920 \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\)
Từ bảng biến thiên, \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|=\left| h(x) \right|\) có đúng 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow 0\le -1+m\Leftrightarrow m\ge 1\). Mà
\(\left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{Z} \\ & m\in \left( -2021\,;\,2022 \right) \\ \end{align} \right.\)
nên có \(2021\) giá trị \(m\) thỏa yêu cầu.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Herman-Gmeiner
Câu hỏi liên quan
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\)biết \({{u}_{1}}=5,\,{{u}_{2}}=8\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):3x+y-2z+1=0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \((P)\)?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)\) là
-
Tập xác định của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{5}}}\) là
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1,AD=AA'=\sqrt{3}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(BC\). Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) bằng
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(2\) (tham khảo hình bên dưới)
Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( AC{C}'{A}' \right)\) bằng
-
Cho \({{\log }_{a}}5=3\), khi đó giá trị của \({{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( 5{{a}^{3}} \right)\) bằng
-
Giá trị của \(\int\limits_{2}^{5}{\frac{1}{x}\text{d}x}\) bằng
-
Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}?\)
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-4}{x+1}\) là đường thẳng có phương trình
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
-
Cho số phức \(z={{\left( 1+2i \right)}^{2}}\). Số phức \(\frac{z}{i}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\)gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}\) và cắt trục \(Ox\,,\,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(d\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Trên tập hợp số phức, biết \({{z}_{0}}=3-2i\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0\)(với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}\)). Giá trị của \(a+b\) bằng
-
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục hoành và trục tung. Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( 0\,;\,4 \right)\) và có hệ số góc \(k\,\,\left( k\in \mathbb{R} \right)\) chia hình \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của \(k\) bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\) là
-
Thể tích của khối cầu có bán kính \(R\) là
