Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\), khi đó \(\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐáp án D
Xét tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\).
Đặt \(t=6x\Rightarrow \operatorname{d}x=\frac{1}{6}\operatorname{d}t\) và \(x=\frac{1}{6}t\)
Khi x=0 thì t=0. Khi x=1 thì t=6.
Do đó \(I=\int\limits_{0}^{6}{\frac{1}{6}tf\left( t \right).\frac{1}{6}\operatorname{d}t}=\frac{1}{36}\int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}\),
Suy ra \(\frac{1}{36}\int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=36\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{tf\left( t \right)\operatorname{d}t}=36\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}=36\)
Xét tích phân \(J=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
Đặt \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ {\mathop{\rm d}\nolimits} v = f'\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm d}\nolimits} u = 2x{\mathop{\rm d}\nolimits} x\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right. \end{array}\),
ta có
\(J=\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{6}-\int\limits_{0}^{6}{2xf\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(=\left. {{x}^{2}}f\left( x \right) \right|_{0}^{6}-2\int\limits_{0}^{6}{xf\left( x \right)\operatorname{d}x}\)
\(={{6}^{2}}.f\left( 6 \right)-{{0}^{2}}.f\left( 0 \right)-2.36=-36\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right). SA=\sqrt{2}a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AB=a. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Cho đường thẳng y=3x và parabol \(y=2{{x}^{2}}+a\) ( a là tham số thực dương). Gọi \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\) thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{2x-1}}=8\) là
-
Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=5\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(A\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) ( \(a\,,\,b\,,\,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{2}}{{a}^{3}}\) bằng
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
-
Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
-
Nghiệm của phương trình \(\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( x+1 \right)+1=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( 3x-1 \right)\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y=f\left( 3-2x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hai hàm số \(y=\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}\) và \(y=\left| x+2 \right|-x-m\) (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của m để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;2 \right)\) và \(B\left( 6;5;-4 \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+5=0\). Gái trị của \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;3;-2 \right)\). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh 2a và A{A}'=3a (minh họa như hình vẽ bên).
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với x\({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right)=4\) và \({f}'\left( x \right)=2{{\sin }^{2}}x+1,\forall x\in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( 2;1;-1 \right)\) trên trục Oy có tọa độ là
-
Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
