Cho đường thẳng y=3x và parabol \(y=2{{x}^{2}}+a\) ( a là tham số thực dương). Gọi \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\) thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐáp án A
Xét phương trình tương giao: \(3x=2{{x}^{2}}+a\)
\(\Rightarrow 2{{x}^{2}}-3x+a=0 \left( 1 \right)\)
Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) (\({{x}_{2}}>{{x}_{1}}>0) \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta =9-8a>0 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3}{2}>0 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{a}{2}>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 0\)
Ta có: \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( 2{{x}^{2}}-3x+a \right)dx=\left. \left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}}\)
\(=\frac{2}{3}x_{1}^{3}-\frac{3}{2}x_{1}^{2}+a{{x}_{1}}\)
\({{S}_{2}}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( 2{{x}^{2}}-3x+a \right)dx}\)
\(=\left. -\left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}$$=-\left( \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}} \right)+\left( \frac{2}{3}x_{1}^{3}-\frac{3}{2}x_{1}^{2}+a{{x}_{1}} \right)\)
Do \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\Rightarrow \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}}=0\)
mà \({{x}_{2}}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)\) nên \(2x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}+a=0\Rightarrow a=-2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}}\)
\(\left( 2 \right)\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+\left( -2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}} \right).{{x}_{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow -\frac{4}{3}x_{2}^{3}+\frac{3}{2}x_{2}^{2}=0\)
\(\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{9}{8}\) ( loại nghiệm \({{x}_{2}}=0\))
Thay vào \(\left( 2 \right)$$\Rightarrow a=\frac{27}{32}\in \left( \frac{4}{5};\frac{9}{10} \right)\).
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x\) trên đoạn \(\left[ -3\,;\,3 \right]\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\), khi đó \(\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right). SA=\sqrt{2}a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AB=a. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-4z+5=0\). Gái trị của \(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\) bằng
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x\,-\,3y\,+\,z\,\,-2\,=\,0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(2;1;0), C(1;2-1) và D(2;0;-2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là
-
Biết \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2\) và \(\int\limits_{1}^{2}{g\left( x \right)\,\text{d}x}=6\), khi đó \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức 1-2i là
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{2}}{{a}^{3}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;2 \right)\) và \(B\left( 6;5;-4 \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với x\({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt{2}\). Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng \(12\sqrt{2}\). Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)$, hàm số \(y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên \(\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình $f\left( x \right)<2x+m$ ($m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0\,;\,2 \right)$ khi và chỉ khi
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-3}{2}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
-
Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
Cho số phức z thỏa \((2+i)z-4(\overline{z}-i)=-8+19i\). Môđun của z bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2z-7=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y=f\left( 3-2x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
