Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=5\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(A\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) ( \(a\,,\,b\,,\,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐáp án A
Gọi \(M\,,\,N\) là tiếp điểm, H là tâm của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\), r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Ta có: \(AM=MH=r\,\).
Dễ thấy: \(I{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}=A{{I}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}=A{{I}^{2}}\).
Do \(0\le r\le R\Rightarrow {{R}^{2}}\le A{{I}^{2}}\le 2{{R}^{2}}\)
Với giả thiết bài toán, ta có \(I\left( 0\,;\,0 & \,;\,-1 \right)\,,\,R=\sqrt{5}\,,\,A\left( a\,;\,b\,;\,0 \right)\), ta có
\(5\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\le 10\Rightarrow 4\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9\)
Do đó:
\(\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = \pm 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ a = \pm 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 2\\ b = \pm 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 1\\ b = \pm 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b = \pm 1\\ a = \pm 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = \pm 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} b = 0\\ a = \pm 3 \end{array} \right.\)
KL: có 20 điểm thỏa mãn bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 0;3;-2 \right)\). Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=0,x=-1,x=2\) (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn \(w=\frac{2+iz}{1+z}\) là một đường tròn có bán kính bằng
-
Cho phương trình \(\left( 2\log _{3}^{2}x-{{\log }_{3}}x-1 \right)\sqrt{{{5}^{x}}-m}=0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( -2;+\infty \right)\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right)=4\) và \({f}'\left( x \right)=2{{\sin }^{2}}x+1,\forall x\in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức 1-2i là
-
Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+3\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-3}{2}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(2;1;0), C(1;2-1) và D(2;0;-2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với x\({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
-
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt{2}\). Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng \(12\sqrt{2}\). Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
