Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60°. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN > 8).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDựng hình chữ nhật ABNC.
\(\left( {\widehat {AM,BN}} \right) = \left( {\widehat {AM,AC}} \right) = 60^\circ \)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot BN
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot AM\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACM} \right)\)
\({V_{ABNM}} = {V_{MABC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{ACM}} = \frac{1}{6}AB.AC.AM\sin \widehat {CAM} = \frac{1}{6}.6.x.y.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy\)
\({V_{ABNM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}xy \le \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = 8\sqrt 3 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 4.
Khi đó AM = BN = AC = 4
Lại có \(AB//CN \Rightarrow CN \bot \left( {AMC} \right) \Rightarrow CN \bot CM \Rightarrow M{N^2} = C{M^2} + C{N^2}\)
Mặt khác \(\widehat {MAC} = 60^\circ \) hoặc \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
Trường hợp 1: \(\widehat {MAC} = 60^\circ \Rightarrow \) \(\Delta AMC\) đều \( \Rightarrow CM = 4 \Rightarrow MN = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \)
Trường hợp 2: \(\widehat {MAC} = 120^\circ \)
\( \Rightarrow CM = \sqrt {A{M^2} + A{C^2} - 2AM.AC\cos 120^\circ } = \sqrt {48} \Rightarrow MN = \sqrt {48 + {6^2}} = 2\sqrt {41} \)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh