Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;...;100} \right\}\). Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử tập con bất kì \(\left\{ {a;b;c} \right\} \in S \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 100;a,b,c\) phân biệt
a + b + c = 91.
Đây là bài toán chia kẹo Euler nên số bộ a, b, c là \(C_{91 - 1}^{3 - 1}\)
Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 chữ số giống nhau, số bộ có 2 chữ số giống nhau là 3.45 = 135 (bộ). Vậy \(n\left( \Omega \right) = \left( {C_{90}^2 - 3.45} \right):3! = 645\).
Gọi A là biến cố: “a, b, c lập thành cấp số nhân”
Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q > 0
\(a + aq + a{q^2} = 91 \Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 1.91 = 13.7\)
Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
1 + q + {q^2} = 91
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
q = 9
\end{array} \right.\)
Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 91\\
1 + q + {q^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 91\\
q = 0
\end{array} \right.\) (loại)
Trường hợp 3: \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 13\\
1 + q + {q^2} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 13\\
q = 2
\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Trường hợp 4: \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 7\\
1 + q + {q^2} = 13
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 7\\
q = 3
\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy n(A) = 3
\(P\left( A \right) = \frac{3}{{645}}\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh
