Cho hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}} \right|\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1; 2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để \(M \ge 2m\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + ax + a}}{{x + 1}}\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{3{x^4} + 4{x^3}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)
Do đó \(f\left( 1 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 2 \right),\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) hay \(a + \frac{1}{2} \le f\left( x \right) \le a + \frac{{16}}{3},\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: Nếu \(a + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow a > - \frac{1}{2}\) thì \(M = a + \frac{{16}}{3};m = a + \frac{1}{2}\)
Theo đề bài \(a + \frac{{16}}{3} \ge 2\left( {a + \frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow a \le \frac{{13}}{3}\)
Do a nguyên nên \(a \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
TH2: Nếu \(a + \frac{{16}}{3} < 0 \Leftrightarrow a < - \frac{{16}}{3}\) thì \(m = - \left( {a + \frac{{16}}{3}} \right);M = - \left( {a + \frac{1}{2}} \right)\)
Theo đề bài \( - \left( {a + \frac{1}{2}} \right) \ge - 2\left( {a + \frac{{16}}{3}} \right) \Leftrightarrow a \ge - \frac{{61}}{6}\)
Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 10; - 9;...; - 6} \right\}\).
TH3: Nếu \(a + \frac{1}{2} \le 0 \le a + \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow - \frac{{16}}{3} \le a \le - \frac{1}{2}\) thì \(M \ge 0;m = 0\) (Luôn thỏa mãn)
Do a nguyên nên \(a \in \left\{ { - 5; - 4;...; - 1} \right\}\)
Vậy có 15 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}{\rm{ }}\left( C \right)\), đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
.png)
Hỏi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {2x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} + bx + 1,x \ge 0\\
ax - b - 1,x < 0
\end{array} \right.\). Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 = 0. Hãy tính T = a + 2b. -
Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}\) là
-
Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,SA = a\) và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính \(\sin \alpha \), với \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} + 2x}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
-
Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát là un = 3n - 2. Tìm công sai d của cấp số cộng.
-
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 4\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hai đường thẳng cố định a và b chéo nhau. Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a và b (A thuộc a, B thuộc b). Trên a lấy điểm M (khác A), trên b lấy điểm N (khác B) sao cho AM = x,BN = y,x + y = 8. Biết AB = 6, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 60°. Khi thể tích khối tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn MN (trong trường hợp MN > 8).
-
Cho phương trình:
\({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
-
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 2; - 2} \right),C\left( {3;1} \right)\). Tính cosin góc A của tam giác.
-
Tập xác định của hàm số y = tanx là:
-
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là đường thẳng có phương trình?
-
Cho tứ diện MNPQ. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{MIJK}}}}{{{V_{MNPQ}}}}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 5\) trên đoạn [2; 4] là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
