Cho biểu thức \(S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),\) với số thực \(m \ne 0.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}\) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = b - a.\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.\) Giá trị biểu thức \(f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.\) Biết rằng \(\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = ae + b.\) Tính \(Q = {a^{2018}} + {b^{2018}}.\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},\) \(f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6\) và \(f\left( {{e^2}} \right) = 3.\) Giá trị biểu thức \(f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên R thỏa \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1\) với mọi \(x \in R.\) Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Biết \(\int\limits_0^\pi  {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x}  = \frac{{{\pi ^a}}}{b}\) với \(a,b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = 2a + b.\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x \) với mọi \(x>a\) Tính \(f(4)\).

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}\) với \(x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0\), tính giá trị biểu thức \(P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).\)

Biết \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x}  = 1,\) \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x}  = 1.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọi \(x \in R\).

Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) thỏa \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right].\) Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right].\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 - x} \right) = {e^{2{x^2} - 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right].\)  Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) thỏa \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a{c^3} + b.\)

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,\) \(\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .\)