Cho biểu thức $S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),$ với số thực $m \ne 0.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 3$ và $f\left( 1 \right) = 4.$ Tích phân $\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a }  - \sqrt b  - c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b + c$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .$ Giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_0^\pi  {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x}  = \frac{{{\pi ^a}}}{b}$ với $a,b \in {Z^ + }.$ Tính $P = 2a + b.$

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2018.$ Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)$ với $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p$ là các số nguyên dương. Tính tổng $P = m + n + p.$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên $\left[ { -  \,4;\,4\,} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( { - \,x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_1^2 {f\left( { - \,2x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}$ với $x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0$, tính giá trị biểu thức $P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).$

Biết $I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = b - a.$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { - 1;6} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4,{\rm{ }}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x}  = 1,$ $\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x}  = 1.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và thỏa mãn ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x$ với mọi $x \in R.$ Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {0;1} \right].$ Biết rằng $f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10$ và $f\left( 0 \right) = 3.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng

Cho các hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,$ $\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.$

Biết $\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $P = a - b + c.$