Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\) với mọi \(x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}\) với \(x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0\), tính giá trị biểu thức \(P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) thỏa \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Biết \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}\) với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(P = a - b + c.\)

Biết \(\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b \) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b.\)

Biết \(\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = a + b + c.\)

Cho biểu thức \(S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),\) với số thực \(m \ne 0.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { - 1;6} \right].\) Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọi \(x \in R\).

Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x \) với mọi \(x>a\) Tính \(f(4)\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) thỏa \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên R thỏa \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1\) với mọi \(x \in R.\) Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10\) và \(f\left( 0 \right) = 3.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) bằng

Cho \(\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\) với \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(P = m + n + p.\)

Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}\) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = b - a.\)

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a{c^3} + b.\)

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).