Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8}$ và $f\left( 3 \right) = \ln 3$. Tính $I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên $\left[ { -  \,4;\,4\,} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( { - \,x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_1^2 {f\left( { - \,2x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { - 1;6} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right],$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {3;7} \right]$ và $\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho các hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,$ $\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4,{\rm{ }}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},$ $f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6$ và $f\left( {{e^2}} \right) = 3.$ Giá trị biểu thức $f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\ {e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0 \end{array} \right..$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2018.$ Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $P = a - b + c.$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số hữu tỉ. Tính $P = a{c^3} + b.$

Biết $\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x}$ với mọi $x \in R$.

Tính $I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x}$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và thỏa mãn ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x$ với mọi $x \in R.$ Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10$ và $f\left( 0 \right) = 3.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Cho các hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $m.f\left( x \right) + n.f\left( {1 - x} \right) = g\left( x \right)$ với $m, n$ là số thực khác 0 và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1.$ Tính $m+n$