Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8} \) và \(f\left( 3 \right) = \ln 3\). Tính \(I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .\)

Biết \(\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = a + b + c.\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},\) \(f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6\) và \(f\left( {{e^2}} \right) = 3.\) Giá trị biểu thức \(f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right].\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 - x} \right) = {e^{2{x^2} - 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right].\)  Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x}  = 1,\) \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x}  = 1.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x \) với mọi \(x>a\) Tính \(f(4)\).

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.\) Giá trị biểu thức \(f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Biết \(\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b \) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b.\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọi \(x \in R\).

Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).

Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2018.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { - 1;6} \right].\) Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a }  - \sqrt b  - c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b + c\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) thỏa \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\) với \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(P = m + n + p.\)

Biết \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\) với mọi \(x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) thỏa \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,\) \(\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.\)