Biết $\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.$ Biết rằng $\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = ae + b.$ Tính $Q = {a^{2018}} + {b^{2018}}.$

Biết $\int\limits_0^\pi  {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x}  = \frac{{{\pi ^a}}}{b}$ với $a,b \in {Z^ + }.$ Tính $P = 2a + b.$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8}$ và $f\left( 3 \right) = \ln 3$. Tính $I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\ {e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0 \end{array} \right..$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},$ $f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6$ và $f\left( {{e^2}} \right) = 3.$ Giá trị biểu thức $f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {0;1} \right].$ Biết rằng $f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 3$ và $f\left( 1 \right) = 4.$ Tích phân $\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa $\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)$. Tính $f\left( {\frac{1}{4}} \right)$.

Cho $\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right],$ thỏa $f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .$ Giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và thỏa mãn ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x$ với mọi $x \in R.$ Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { - 1;6} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa $f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x}$ với mọi $x \in R$.

Tính $I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x}$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right],$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {3;7} \right]$ và $\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x  + {e^x}}}{{\sqrt x {e^{2x}}}}} {\rm{d}}x}  = a + {e^b} - {e^c}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a }  - \sqrt b  - c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b + c$.