Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 3$ và $f\left( 1 \right) = 4.$ Tích phân $\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { - 1;6} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\ {e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0 \end{array} \right..$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và thỏa mãn ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x$ với mọi $x \in R.$ Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho các hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ và thỏa mãn $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,$ $\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.$

Biết $I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = b - a.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ với $a>0$ và thỏa $\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x$ với mọi $x>a$ Tính $f(4)$.

Cho $\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},$ $f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6$ và $f\left( {{e^2}} \right) = 3.$ Giá trị biểu thức $f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10$ và $f\left( 0 \right) = 3.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x}  = 1,$ $\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x}  = 1.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0$ và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.$ Giá trị biểu thức $f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}$ với $x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0$, tính giá trị biểu thức $P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).$

Biết $\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.$ Biết rằng $\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = ae + b.$ Tính $Q = {a^{2018}} + {b^{2018}}.$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)$ với $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p$ là các số nguyên dương. Tính tổng $P = m + n + p.$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right],$ thỏa $f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .$