Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\) với \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(P = m + n + p.\)

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a{c^3} + b.\)

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a }  - \sqrt b  - c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b + c\).

Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2018.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right].\) Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho các hàm số \(f(x), g(x)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(m.f\left( x \right) + n.f\left( {1 - x} \right) = g\left( x \right)\) với \(m, n\) là số thực khác 0 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1.\) Tính \(m+n\)

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x}  = 1,\) \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x}  = 1.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .\)

Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}\) với \(x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0\), tính giá trị biểu thức \(P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).\)

Biết \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}\) với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(P = a - b + c.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\) với mọi \(x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { - 1;6} \right].\) Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.\) Giá trị biểu thức \(f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x \) với mọi \(x>a\) Tính \(f(4)\).

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọi \(x \in R\).

Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,\) \(\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.\)

Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}\) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = b - a.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\
{e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0
\end{array} \right..\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10\) và \(f\left( 0 \right) = 3.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) bằng