Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi  + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)$ với $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p$ là các số nguyên dương. Tính tổng $P = m + n + p.$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .$ Giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {0;1} \right].$ Biết rằng $f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x}  = a\pi  + b\sqrt 2  + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên $\left[ { -  \,4;\,4\,} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( { - \,x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_1^2 {f\left( { - \,2x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa $\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)$. Tính $f\left( {\frac{1}{4}} \right)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số hữu tỉ. Tính $P = a{c^3} + b.$

Cho $\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a }  - \sqrt b  - c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b + c$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0$ và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.$ Giá trị biểu thức $f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)$ bằng

Biết $\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $P = a - b + c.$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ với $a>0$ và thỏa $\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x$ với mọi $x>a$ Tính $f(4)$.

Cho các hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $m.f\left( x \right) + n.f\left( {1 - x} \right) = g\left( x \right)$ với $m, n$ là số thực khác 0 và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1.$ Tính $m+n$

Cho biểu thức $S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),$ với số thực $m \ne 0.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x}  = 10$ và $f\left( 0 \right) = 3.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8}$ và $f\left( 3 \right) = \ln 3$. Tính $I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$