Biết $\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}}  + x}}{\rm{d}}x}  = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $P = a - b + c.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {0;1} \right].$ Biết rằng $f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right],$ thỏa $f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}$ với $x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi  \right) = 0$, tính giá trị biểu thức $P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .$ Giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho $\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.$ Biết rằng $\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = ae + b.$ Tính $Q = {a^{2018}} + {b^{2018}}.$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ với $a>0$ và thỏa $\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x$ với mọi $x>a$ Tính $f(4)$.

Cho các hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa $m.f\left( x \right) + n.f\left( {1 - x} \right) = g\left( x \right)$ với $m, n$ là số thực khác 0 và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1.$ Tính $m+n$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và thỏa mãn ${f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x$ với mọi $x \in R.$ Tính $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên $\left[ { - 1;6} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8$ và $\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x}  = 3.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {3;7} \right],$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {3;7} \right]$ và $\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4,{\rm{ }}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa $\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)$. Tính $f\left( {\frac{1}{4}} \right)$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 3$ và $f\left( 1 \right) = 4.$ Tích phân $\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8}$ và $f\left( 3 \right) = \ln 3$. Tính $I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x  + {e^x}}}{{\sqrt x {e^{2x}}}}} {\rm{d}}x}  = a + {e^b} - {e^c}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$