Cho hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên $\left[ { -  \,4;\,4\,} \right].$ Biết rằng $\int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( { - \,x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 2$ và $\int\limits_1^2 {f\left( { - \,2x} \right)\,{\rm{d}}x}  = 4.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 3$ và $f\left( 1 \right) = 4.$ Tích phân $\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}$ bằng

Biết $\int\limits_0^\pi  {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x}  = \frac{{{\pi ^a}}}{b}$ với $a,b \in {Z^ + }.$ Tính $P = 2a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},$ $f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6$ và $f\left( {{e^2}} \right) = 3.$ Giá trị biểu thức $f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ {a; + \infty } \right)$ với $a>0$ và thỏa $\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t}  + 6 = 2\sqrt x$ với mọi $x>a$ Tính $f(4)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right],$ thỏa mãn $\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2018.$ Giá trị của tích phân $I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0$ và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.$ Giá trị biểu thức $f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4,{\rm{ }}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} .$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8}$ và $f\left( 3 \right) = \ln 3$. Tính $I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1}  - {e^x}}}{\rm{d}}x}  = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a  - \sqrt b$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = a + b.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 2.$ Giá trị của biểu thức $f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)$ bằng

Cho biểu thức $S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),$ với số thực $m \ne 0.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và thỏa $\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)$. Tính $f\left( {\frac{1}{4}} \right)$.

Biết $\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 5 + b\ln 2 + c$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Biết $\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x  + {e^x}}}{{\sqrt x {e^{2x}}}}} {\rm{d}}x}  = a + {e^b} - {e^c}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = a + b + c.$

Biết $I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}$ với $a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.$ Tính $P = b - a.$

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right],$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)$ với mọi $x \in \left[ {0;1} \right].$ Biết rằng $f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1}  + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\sqrt 2  + b\sqrt 6  + c}}{6}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.$ Tính $P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.$

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right].$ Biết $f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( x \right)f\left( {2 - x} \right) = {e^{2{x^2} - 4x}}$ với mọi $x \in \left[ {0;2} \right].$  Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right],$ thỏa $f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên R thỏa $f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1$ với mọi $x \in R.$ Tích phân $\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng