Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;m;2} \right);\overrightarrow b = \left( {m + 1;2;2} \right);\overrightarrow c \left( {0;m - 2;2} \right)$. Giá trị của m để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng là

Cho ba điểm $A\left( {1;6;2} \right),B\left( {5;1;3} \right)$, $C\left( {4;0;6} \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0$, $\left( R \right):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {2;0; - 1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P), cắt trục tọa độ tại M(8;0;0), $N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0;4} \right)$. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;4;0} \right)$ và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y - 2z + 2015 = 0. Gọi $\alpha$ là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P). Giá trị của $\cos \alpha$ là

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có $A\left( {2;3;1} \right),B\left( {4;1; - 2} \right),C\left( {6;3;7} \right)$, D(-5;-4;8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với $\overrightarrow u \left( {1;2;3} \right)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - z + 0$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + mt\\ z = - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( { - 2;1;0} \right),B\left( { - 3;0;4} \right),C\left( {0;7;3} \right)$. Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của $(\alpha)$ là 

Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).$

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$ và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Tìm điểm M trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ sao cho $AM = \sqrt 6$, với A(0;2;-2).

Cho điểm M(1;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0$; $\left( R \right):x + 2y + z = 0$. Phương trình mặt phẳng (P) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và ${d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)$ là

Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(m;0;0), $B\left( {2;1;2} \right),C\left( {0;2;1} \right)$. Để ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt {35} }}{2}$ thì