Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0$; $\left( R \right):x + 2y + z = 0$. Phương trình mặt phẳng (P) là

Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + mt\\ z = - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;m;2} \right);\overrightarrow b = \left( {m + 1;2;2} \right);\overrightarrow c \left( {0;m - 2;2} \right)$. Giá trị của m để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0$. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với $\Delta$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và ${d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)$ là

Tìm điểm M trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ sao cho $AM = \sqrt 6$, với A(0;2;-2).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {2;0; - 1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm $A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)$. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - z + 0$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {3; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0$. Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có $A\left( {2;3;1} \right),B\left( {4;1; - 2} \right),C\left( {6;3;7} \right)$, D(-5;-4;8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( { - 2;1;0} \right),B\left( { - 3;0;4} \right),C\left( {0;7;3} \right)$. Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0$, $\left( R \right):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Cho tam giác ABC có A(1;2;3), $B\left( { - 3;0;1} \right),C\left( { - 1;y;z} \right)$. Trọng tâm của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp (y;z) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của $(\alpha)$ là 

Cho điểm M(1;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z - 2 = 0$. Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là