Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z - 2 = 0$. Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - z + 0$.

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với $\overrightarrow u \left( {1;2;3} \right)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + mt\\ z = - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( { - 2;1;0} \right),B\left( { - 3;0;4} \right),C\left( {0;7;3} \right)$. Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ bằng

Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(m;0;0), $B\left( {2;1;2} \right),C\left( {0;2;1} \right)$. Để ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt {35} }}{2}$ thì

Cho điểm M(1;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z + 3 = 0$ và ba điểm A(0;1;2), B(1;1;1), C(2;-2;3). Tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0$, $\left( R \right):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {2;0; - 1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và ${d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P), cắt trục tọa độ tại M(8;0;0), $N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0;4} \right)$. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và ${d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {0;1; - 2} \right)$ và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = |MA - MB| là

Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm $A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)$. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0$; $\left( R \right):x + 2y + z = 0$. Phương trình mặt phẳng (P) là

Tìm điểm M trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ sao cho $AM = \sqrt 6$, với A(0;2;-2).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của $(\alpha)$ là 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {3; - 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0$. Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là