Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) và \({d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)\) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0\). Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \(\Delta\) và tạo với (P) một góc nhỏ nhất.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0\); \(\left( R \right):x + 2y + z = 0\). Phương trình mặt phẳng (P) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 3 = 0\) và ba điểm A(0;1;2), B(1;1;1), C(2;-2;3). Tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{3}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z + 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là

Cho điểm M(1;2;-1). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua gốc tọa độ O(0;0;0) và cách M một khoảng lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Cho tam giác ABC có A(1;2;3), \(B\left( { - 3;0;1} \right),C\left( { - 1;y;z} \right)\). Trọng tâm của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp (y;z) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P), cắt trục tọa độ tại M(8;0;0), \(N\left( {0;2;0} \right),P\left( {0;0;4} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là:

Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(m;0;0), \(B\left( {2;1;2} \right),C\left( {0;2;1} \right)\). Để \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\) thì

Tìm điểm M trên đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) sao cho \(AM = \sqrt 6 \), với A(0;2;-2).

Cho ba điểm \(A\left( {1;6;2} \right),B\left( {5;1;3} \right)\), \(C\left( {4;0;6} \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;4;0} \right)\) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y - 2z + 2015 = 0. Gọi \(\alpha\) là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P). Giá trị của \(\cos \alpha\) là

Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).\)

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( {2;3;1} \right),B\left( {4;1; - 2} \right),C\left( {6;3;7} \right)\), D(-5;-4;8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0\), \(\left( R \right):x - y + 5 = 0\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right),B\left( { - 3;0;4} \right),C\left( {0;7;3} \right)\). Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) bằng