Cho ba điểm $A\left( {1;6;2} \right),B\left( {5;1;3} \right)$, $C\left( {4;0;6} \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3;-1;1) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$?

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với $\overrightarrow u \left( {1;2;3} \right)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 1 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa $\Delta$ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất.

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có $A\left( {2;3;1} \right),B\left( {4;1; - 2} \right),C\left( {6;3;7} \right)$, D(-5;-4;8). Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Tìm điểm M trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 1 - t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ sao cho $AM = \sqrt 6$, với A(0;2;-2).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + mt\\ z = - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;m;2} \right);\overrightarrow b = \left( {m + 1;2;2} \right);\overrightarrow c \left( {0;m - 2;2} \right)$. Giá trị của m để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng là

Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(m;0;0), $B\left( {2;1;2} \right),C\left( {0;2;1} \right)$. Để ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt {35} }}{2}$ thì

Cho tam giác ABC có A(1;2;3), $B\left( { - 3;0;1} \right),C\left( { - 1;y;z} \right)$. Trọng tâm của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp (y;z) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0$. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với $\Delta$ có phương trình là

Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;-2;3) và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 - 3t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và ${d_2}\left\{ \begin{array}{l} x = 7 + 3m\\ y = - 2 + 2m\\ z = 1 - 2m \end{array} \right.\left( {m \in R} \right)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm. Phương trình của $(\alpha)$ là 

Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm $A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)$. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 3z - 1 = 0$; $\left( R \right):x + 2y + z = 0$. Phương trình mặt phẳng (P) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z + 3 = 0$ và ba điểm A(0;1;2), B(1;1;1), C(2;-2;3). Tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {2;0; - 1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( Q \right):x + y - z + 2 = 0$, $\left( R \right):x - y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = t\\ z = - 2 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + z - 2 = 0$. Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là