Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + y^2 + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2y - 4{\rm{z}} - 3 = 0$. Bán kính R của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng 

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $BC = 3BM,BD = \frac{3}{2}BN,$ $AC = 2AP$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là ${V_1},{V_2}$, trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là ${V_2}$. Tính tie số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$. 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ có tọa độ là 

Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 1; - 3} \right)$, $B\left( { - 2;2;1} \right)$. Vectơ $\overrightarrow {AB}$ có tọa độ là 

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) >  - 3$ là 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và ${\rm{SA}} \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)$. Biết ${\rm{S}}A = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa SC và mặt phẳng $\left( {ABC{\rm{D}}} \right)$. 

Trong không gian ${\rm{Oxyz}}$, cho điểm $A\left( {2; - 1; - 3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3{\rm{x}} - 2y + 4{\rm{z}} - 5 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua A và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là 

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm $A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {2;1;0} \right),C\left( { - 3; - 1; - 3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y - z - 4 = 0$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $T = \left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức ${\rm{S}} = a + b + c$. 

Một khối nón có thể tích bằng $9{{\rm{a}}^3}\pi \sqrt 2$.  Tính bán kính R đáy khối nón khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

Cho hàm số $y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y = 4{\rm{x}} + 8$. Đường thẳng ${\rm{d}}$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{\rm{x}}_1},{x_2},{x_3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$. 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${{\rm{x}}_0} \in \left( {a;b} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4{\rm{x}} - 2y + 2{\rm{z}} - 19 = 0$ và mặt phẳng $\left( P \right):2y - y - 2{\rm{z}} + m + 3 = 0$ với m là tham số. Gọi T là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt  cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng $6\pi$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $\left( { - 2019;2020} \right)$ để hàm số $y = 2{{\rm{x}}^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right) + 2019$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$? 

Cho hình trụ có trục $OO'$, chiều cao bằng a. Trên hai đường tròn đáy $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng $\frac{a}{2}$. Góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng $60^\circ$. Tính thể tích của khối trụ đã cho. 

Tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - 3{\rm{x}}}} = \frac{1}{4}$ là 

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = 2 - 3n$. Công sai d của cấp số cộng là

Cho hình hộp $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ có đáy $ABC{\rm{D}}$ là hình chữ nhật với $AB = a,A{\rm{D}} = {\rm{a}}\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( {ABC{\rm{D}}} \right)$ trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng $\left( {A'B{\rm{D}}} \right)$. 

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\rm{x}}^2} - x + 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {x - m}  - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt là $\left[ {a;b} \right)$. Tính $a + b$. 

Tổng các nghiệm của phương trình $\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6{\rm{x}}} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2{\rm{x}}} \right) = 16$ trên đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$ bằng 

Một lớp học có 38 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai bạn học sinh trong lớp? 

Tính chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều biết thể tích bằng $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$, cạnh đáy bằng a.