Cho hình hộp $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ có đáy $ABC{\rm{D}}$ là hình chữ nhật với $AB = a,A{\rm{D}} = {\rm{a}}\sqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( {ABC{\rm{D}}} \right)$ trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng $\left( {A'B{\rm{D}}} \right)$. 

Cho khối chóp S.ABC, mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S có BC=2a, cạnh ${\rm{S}}A = a\sqrt 2$ và tạo với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ một góc $30^\circ$. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 

Cho hình nón có độ dài đường sinh $l = 4{\rm{a}}$, bán kính đáy ${\rm{R}} = a\sqrt 3$. Diện tích xung quanh hình nón bằng 

Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4{\rm{x}} - 2y + 2{\rm{z}} - 19 = 0$ và mặt phẳng $\left( P \right):2y - y - 2{\rm{z}} + m + 3 = 0$ với m là tham số. Gọi T là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt  cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng $6\pi$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC=a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho $BC = 3BM,BD = \frac{3}{2}BN,$ $AC = 2AP$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là ${V_1},{V_2}$, trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là ${V_2}$. Tính tie số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$. 

Một lớp học có 38 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai bạn học sinh trong lớp? 

Cho hình trụ có trục $OO'$, chiều cao bằng a. Trên hai đường tròn đáy $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng $\frac{a}{2}$. Góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng $60^\circ$. Tính thể tích của khối trụ đã cho. 

Trong không gian ${\rm{Oxyz}}$, cho điểm $A\left( {2; - 1; - 3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3{\rm{x}} - 2y + 4{\rm{z}} - 5 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua A và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và ${\rm{SA}} \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)$. Biết ${\rm{S}}A = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa SC và mặt phẳng $\left( {ABC{\rm{D}}} \right)$. 

Tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - 3{\rm{x}}}} = \frac{1}{4}$ là 

Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho ba điểm $A\left( {0;1; - 2} \right)$, $B\left( {3;1;1} \right)$, $C\left( { - 2;0;3} \right)$. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua điểm nào sau đây? 

Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \frac{{x + 1}}{{x + 4}}$. Tính giá trị biểu thức $P = f'\left( 0 \right) + f'\left( 3 \right) + f'\left( 6 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)$. 

Biết đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$. Qua điểm $I\left( {2;2} \right)$. Tính $f\left( {4 - {a^{2018}}} \right)$. 

Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 1; - 3} \right)$, $B\left( { - 2;2;1} \right)$. Vectơ $\overrightarrow {AB}$ có tọa độ là 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${{\rm{x}}_0} \in \left( {a;b} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a 

Một khối nón có thể tích bằng $9{{\rm{a}}^3}\pi \sqrt 2$.  Tính bán kính R đáy khối nón khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{\rm{x}}^2} - x + 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {x - m}  - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt là $\left[ {a;b} \right)$. Tính $a + b$. 

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. Tìm m?