Xét số phức z thỏa mãn \(|z+2-i|+|z-4-7 i|=6 \sqrt{2}\) . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(|z-1+i|\) . Tính P=M+m
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z . Các điểm \(A(-2 ; 1), B(4,7), C(1 ;-1)\)
Ta có \(|z+2-i|+|z-4-7 i|=6 \sqrt{2} \Leftrightarrow M A+M B=6 \sqrt{2}, \text { mà } A B=6 \sqrt{2} \Rightarrow M A+M B=A B\).
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB:\(y=x+3, \text { với } x \in[-2 ; 4]\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có }|z-1+i|=M C \Rightarrow|z-1+i|^{2}=M C^{2}=(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=(x-1)^{2}+(x+4)^{2}=2 x^{2}+6 x+17 \\ \text { Đặt } f(x)=2 x^{2}+6 x+17, x \in[-2 ; 4] \\ f^{\prime}(x)=4 x+6, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2} \text { ( nhận) } \\ \text { Ta có } f(-2)=13, f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2}, f(4)=73 \\ \text { Vậy } f(x)_{\max }=f(4)=73, f(x)_{\min }=f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{2} \\ \Rightarrow M=\sqrt{73}, m=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \Rightarrow P=\frac{5 \sqrt{2}+2 \sqrt{73}}{2} \end{array}\)
