Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 đường thẳng có phương trình lần lượt \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – 2t\\y = 1 + t\\z = – 1 + t\end{array} \right.,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – t\\y = 3 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.,\,{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 3 – t\\z = 2 – t\end{array} \right.,{d_4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2\\z = 1 – 2t\end{array} \right..\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt cả 4 đường thẳng trên có phương trình chính tắc tương ứng là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTrong 4 đường thẳng đã cho sẽ có 2 đường thẳng đồng phẳng. Nhận thấy không có 2 đường thẳng nào song song với nhau nên ta phải tìm cặp đường thẳng cắt nhau tạo nên một mặt phẳng chứa chúng. Về lý thuyết phải thử tối đa 6 phép thử để tìm ra 2 đường thẳng cắt nhau.
Ta tìm ra được hai đường thẳng cắt nhau là \({d_2} \cap {d_4} = \left( {4;2; – 1} \right)\). Ta sẽ lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa hai đường thẳng này.
Cặp VTCP của mặt phẳng là: \({\vec u_2} = \left( { – 1;1;2} \right),\,{\vec u_4} = \left( {3;0; – 2} \right)\).
Suy ra VTPT \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left[ {{{\vec u}_2},{{\vec u}_4}} \right] = \left( { – 2;4; – 3} \right)\).
Khi đó phương trình mặt phẳng là: \(\left( \alpha \right): – 2x + 4y – 3z – 3 = 0\).
Gọi \(A = {d_1} \cap \left( \alpha \right) = \left( {\frac{{11}}{5};\frac{7}{5}; – \frac{3}{5}} \right),\,B = {d_3} \cap \left( \alpha \right) = \left( {2;4;3} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) cắt cả 4 đường thẳng nên phải đi qua AB.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { – \frac{1}{5};\frac{{13}}{5};\frac{{18}}{5}} \right) = \frac{1}{5}\left( { – 1;13;18} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua B có VTCP \(\vec a = \left( { – 1;13;18} \right)\) là: \(\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{{13}} = \frac{{z – 3}}{{18}}\)
