Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + \left( {m – 3} \right)x + m\) có hai điểm cực trị và điểm \(M\left( {9;\, – 5} \right)\) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y’ = 3{x^2} + 4x + m – 3\), để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{3}\left( * \right)\)
Ta có \(y = y’.\left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}} \right) + \left( {\frac{{2m}}{3} – \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}\) nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = \left( {\frac{{2m}}{3} – \frac{{26}}{9}} \right)x + \frac{{7m}}{9} + \frac{2}{3}.\)
Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua \(M\left( {9;\, – 5} \right)\) nên m = 3 (thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\)).