Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \({{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\,1 \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\)\(\left( 1 \right)\)\(\Leftrightarrow \)\(\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=m\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có \({f}'\left( x \right)=\frac{{{12}^{x}}.\ln 3+{{6}^{x}}.\ln 6+{{3.2}^{x}}.\ln 2}{{{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Suy ra \(0<x<1\Leftrightarrow f\left( 0 \right)<f\left( x \right)<f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2<f\left( x \right)<4\) vì \(f\left( 0 \right)=2,\text{ }f\left( 1 \right)=4.\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\,1 \right)\) khi \(m\in \left( 2;4 \right)\).
