Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Đạo hàm y’ = - 3x2+ 6x+ 3(m2-1) = - 3(x2- 2x - m2+1).
Đặt g( x) = x2 - 2x - m2+1 là tam thức bậc hai có
+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\) (1)
+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1 ± m
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m3) và B( 1+m ; -2+ 2m3).
Ta có:
Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA = OB hay OA2 = OB2
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - m} \right)^2} + 4{\left( {1 + {m^3}} \right)^2} = {\left( {1 + m} \right)^2} + 4{\left( {1 - {m^3}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow - 4m + 16{m^3} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \pm \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = - x4 + 2x2 + 1
-
Cho hàm số \(y=x^{3}+17 x^{2}-24 x+8\) . Kết luận nào sau đây là đúng?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{m}{3} x^{3}+2 x^{2}+m x+1\) có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(x_{C D}<x_{C T}\)
-
Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x4 + 2x2 + 3
-
Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số y = - x4 + 2x2 + 1
-
Hàm số \(y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Gọi S là tập giá trị nguyên \(m \in[0 ; 100]\) để hàm số \(y=\left|x^{3}-3 m x^{2}+4 m^{3}-12 m-8\right|\) có 5 cực trị. Tính tổng các phần tử của S.
-
Cho hàm số \(y\; = \;{x^4}\; - 2{x^2}\; + 3\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số có bảng biến thiên ở hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Cho \(\left( {{m^4} + 1} \right){x^4} + \left( { - {2^{m + 1}}.{m^2} - 4} \right){x^2} + {4^m} + 16\). Số cực trị của hàm số y = |f(x)-1| là:
-
Cho hàm số \(y = ax⁴ + bx² + c\,(a,b,c\in\mathbb{R})\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là?
-
Hàm số y =f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\) là:
-
Điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {1 + 4x - {x^4}} \) có tọa độ là
-
Hàm số y = x3 – 3x + 2 đạt cực đại tại
-
Cho hàm số y = x3- 3mx2+4m2-2 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B sao cho I( 1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
.png)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = x³ - 3x² + 2.\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên
\(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt \(g(x)=3 f(f(x))+4\)
Tìm số điểm cực trị của hàm số g (x)?
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y=x^{4}-2 m^{2} x^{2}+1\) có ba điểm cực trị là ba
đỉnh của một tam giác vuông cân?
