Cho tứ giác ABCD có \(A\left( {0,1, - 1} \right);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} \right);\,\,C\left( {1, - 1,0} \right);\,\,\,\left( {0,0,1} \right)\). Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai(P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3
\( \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \frac{{1 + 3.0}}{4} = \frac{1}{4}\\ y = \frac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \frac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \frac{{ - 1}}{4}\\ z = \frac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \frac{{0 + 3.1}}{4} = \frac{3}{4} \end{array} \right.\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} \right);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} \right) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} \right)\)
Pháp vecto của \(\left( P \right):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } \right] = \left( {15, - 4, - 5} \right)\)
\( \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 0} \right)15 + \left( {y - 1} \right)\left( { - 4} \right) + \left( {z + 1} \right)\left( { - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0\)