Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;0), B(2;−2;1) và (P):4x+y+z−3=0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A,B và tạo với mặt phẳng (P) một góc 600
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;b;c} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;1} \right)\\ AB \subset \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow a - 3b + c = 0 \Rightarrow c = 3b - a \end{array}\)
Gọi φ là góc tạo bởi mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .3\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {4a + b + c} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Leftrightarrow |4a + b + 3b - a| = \frac{9}{2}\\ \sqrt {{a^2} + {b^2} + {{(3b - a)}^2}} \\ \Leftrightarrow {(3a + 4b)^2} = \frac{9}{2}({a^2} + {b^2} + 9{b^2} - 6ab + {a^2})\\ \Leftrightarrow - 29{b^2} + 51ab = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 0\\ - 29b + 51a = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Với b=0, chọn a=1⇒c=−1, khi đó (Q):x−z−1=0
Với \(\frac{a}{b} = \frac{{29}}{{51}},\) chọn a=29,b=51⇒c=124, khi đó (Q):29x+51y+124z−80=0
