Cho số phức z thỏa điều kiện \(\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\bar z + i} \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiã sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{z^2} – {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {z – 2i} \right)\left( {z + 2i} \right)} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2i = 0\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\left| {z – 2i} \right| = \left| z \right|\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
(1) \( \Leftrightarrow z = – 2i\). Suy ra \(\left| {z + i} \right| = \left| { – 2i + i} \right| = \left| { – i} \right| = 1\)
(2)\( \Leftrightarrow \left| {x + yi – 2i} \right| = \left| {x + yi} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4y + 4 = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow y = 1\)
Suy ra \(\left| {\bar z + i} \right| = \left| {x – yi + i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {1 – y} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2}} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z + i} \right|\) bằng 0.
