Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 2 = 0\). Tìm điểm \(M \in \Delta \) sao cho \(2A{M^2} + M{B^2}\) có giá trị nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right).\)
Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)
\(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta \)
\(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\)
Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \(\Delta \)
\( \Rightarrow \) d nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d là: \(2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\)
M là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{{15}}\\y = - \frac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right).\)
Vậy \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC với \(AB = c,{\rm{ }}BC = a,{\rm{ }}AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R, trong các mệnh đề sau mệnh đề sai là:
-
\(\sin 4x\cos 5x - \cos 4x\sin 5x\) có kết quả là:
-
Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3 - m = 0\) có hai nghiệm trái dấu?
-
Cho bảng xét dấu:
.JPG)
Hàm số có bảng xét dấu như trên là
-
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và song song đường thẳng \(\left( d \right):2x - 3y + 2 = 0\)
-
Cho \(d\,\,:\,\,\sqrt 3 x + y = 0\) và \(d'\,\,:\,\,mx + y - 1 = 0\). Tìm m để \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{2}\)
-
Với những giá trị nào của m thì đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + m - 1 = 0\) tiếp xúc đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 16 = 0\)
-
Kết quả biểu thức rút gọn \(N = {\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cos \left( {9\pi - x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^2}\) bằng:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x + 6 > 0\) là:
-
Điều kiện của bất phương trình \(2\sqrt {x + 2} > 7{x^2} + \frac{1}{{x - 1}}\) là:
-
Điểm \({M_0}\left( {1;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:
-
Cho \(f\left( x \right) = m\left( {m + 2} \right){x^2} - 2mx + 2\). Tìm m để \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.
-
Cho \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\sin \alpha \).
-
Cặp số \(\left( { - 3;1} \right)\) là nghiệm của bất phương trình:
-
Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình \({x^2} - 16 \le 0\)?
-
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 9;{\rm{ }}AC = 11;{\rm{ }}AB = 8.\) Diện tích của tam giác là:
-
Với giá trị nào của \(n\) thì đẳng thức sau luôn đúng?\(\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 12x} } } = \cos \frac{x}{{2n}}\,\,,\,\,0 < x < \frac{\pi }{{12}}\).
-
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua 2 điểm \(A\left( {1; - 3} \right),\,\,B\left( {3; - 2} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là:
-
Cho \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Kết quả đúng là:
-
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 2x + 7\\4x + 3 \le 2x + 21\end{array} \right.\)
