Với giá trị nào của \(n\) thì đẳng thức sau luôn đúng?\(\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 12x} } } = \cos \frac{x}{{2n}}\,\,,\,\,0 < x < \frac{\pi }{{12}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(0 < x < \frac{\pi }{{12}} \Rightarrow 0 < \frac{{3x}}{2} < 3x < 6x < \frac{\pi }{2} \Rightarrow 0 < \cos 6x < \cos 3x < \cos \frac{{3x}}{2} < 1\) (do hàm số \(y = \cos x\) là hàm số nghịch biến).
\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 12x} } } = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}6x - 1} \right)} } } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + {{\cos }^2}6x - \frac{1}{2}} } } = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}6x} } } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 6x} } \;\;\;\left( {do\;\;\cos 6x > 0} \right)\\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}3x - 1} \right)} } = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}3x} } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 3x} \;\;\;\left( {do\;\;\cos 3x > 0} \right)\\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\frac{{3x}}{2} - 1} \right)} = \sqrt {{{\cos }^2}\frac{{3x}}{2}} = \cos \frac{{3x}}{2}\;\;\left( {do\;\;\cos \frac{{3x}}{2} > 0} \right)\\ \Rightarrow \cos \frac{{3x}}{2} = \cos \frac{x}{{2n}}\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)
Để (1) luôn đúng \( \Rightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{x}{{2n}} \Leftrightarrow n = \frac{1}{3}\)
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(A\left( {14;7} \right),B\left( {11;8} \right),C\left( {13;8} \right)\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:
-
Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3 - m = 0\) có hai nghiệm trái dấu?
-
Một đường tròn có bán kính \(R = 75cm\). Độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo \(\alpha = \frac{\pi }{{25}}\) là:
-
Với các giá trị nào của tham số m thì hàm số \(y = \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)} \) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\)?
-
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 2x + 7\\4x + 3 \le 2x + 21\end{array} \right.\)
-
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2 \ge 0\\ - x - 2y - 2 < 0\end{array} \right.\) là miền chứa điểm nào trong các điểm sau?
-
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \({60^o}\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 20km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 30km/h. Hỏi sau 3 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x + 6 > 0\) là:
-
Cho \(f\left( x \right) = m\left( {m + 2} \right){x^2} - 2mx + 2\). Tìm m để \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.
-
Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M với \(AM = 1\) như hình vẽ dưới đây. Số đo cung AM là:
.JPG)
-
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 9;{\rm{ }}AC = 11;{\rm{ }}AB = 8.\) Diện tích của tam giác là:
-
Điều kiện của bất phương trình \(2\sqrt {x + 2} > 7{x^2} + \frac{1}{{x - 1}}\) là:
-
Cho \(\tan x = - 4\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{{{\sin }^2}x - \sin 2x - 4{{\cos }^2}x}}{{\sin 2x - 2{{\cos }^2}x}}\)
-
\(\sin 4x\cos 5x - \cos 4x\sin 5x\) có kết quả là:
-
Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình \({x^2} - 16 \le 0\)?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0\) là
-
Hàm số có kết quả xét dấu là hàm số:
.JPG)
-
Cho \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\sin \alpha \).
-
Cho đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 4x + 8y - 5 = 0\). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm \(B\left( {3; - 11} \right)\) là
-
Cho \(d\,\,:\,\,\sqrt 3 x + y = 0\) và \(d'\,\,:\,\,mx + y - 1 = 0\). Tìm m để \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{2}\)
