Nếu \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) và \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\) thì \(\tan \alpha = - \dfrac{{m + \sqrt n }}{3}\) với cặp số nguyên (m, n) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(1 = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \)\(= {\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{1}{2} - \sin \alpha } \right)^2} \)\(= 2{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha + \dfrac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha - \dfrac{3}{4} = 0 \)
\(\Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{1 \pm \sqrt 7 }}{4}\)
Mà \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\). Chọn \(\sin \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\).
Suy ra \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).
=> \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{1 - 7}} = - \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}\).
Vậy \(\left( {m,n} \right) = \left( {4,7} \right)\).
