Xét hai câu sau:
(1) Hàm số \(y=\frac{|x|}{x+1}\) liên tục tai x=0
(2) Hàm số \(y=\frac{|x|}{x+1}\) có đạo hàm tại x=0
trong hai câu trên
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x+1}=0 \\ f(0)=0 \end{array} \Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x+1}=f(0)\right.\)
nên hàm số \(y=\frac{|x|}{x+1}\) liên tục tại x=0.
Ta có:
\(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\frac{|x|}{x+1}-0}{x}=\frac{|x|}{x(x+1)}(\text { vói } x \neq 0)\)
Do đó:
\(\left\{\begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|}{x(x+1)}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x+1}=1 \\ \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x(x+1)}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-1}{x+1}=-1 \end{array}\right.\)
giới hạn 2 bên khác nhau nên không tồn tại gới hạn
\(\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \text { khi } x \rightarrow 0\)
Vậy hàm số \(y=\frac{|x|}{x+1}\) không có đạo hàm tại x=0
