Trong không gian Oxyz , cho hai điểm \(M\left( {2;1;1} \right),N\left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 1\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( y\right)^2} + {(z-1)^2} = 1\)

C. \({\left( x \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z+1)^2} = 1\)

D. \(x^2 + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(x-1)^2} = 1\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài: Phương trình mặt phẳng

Lời giải:

Báo sai

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN .

Ta áp dụng tính chất sau : “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có \(a.\overrightarrow {IO} + b.\overrightarrow {IM} + c.\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \,\,\,\left( {a = MN,\,b = ON,\,c = OM} \right)\)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l} OM = \sqrt {4 + 4 + 1} = \sqrt 3 \\ ON = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = 4\\ MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5\\ a.\overrightarrow {IO} + b.\overrightarrow {IM} + c.\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IO} + 4\overrightarrow {IM} + 3\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 5\left( { - {x_I}; - {y_I}; - {z_I}} \right) + 4\left( {2 - {x_I};2 - {y_I};1 - {z_I}} \right) + 3.\left( {\frac{{ - 8}}{3} - {x_I};\frac{4}{3} - {y_I};\frac{8}{3} - {z_I}} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\left( { - 5 - 4 - 3} \right){x_I};\left( { - 5 - 4 - 3} \right){y_I} + 12;\left( { - 5 - 4 - 3} \right){z_I} + 12} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\left( { - 12} \right){x_I};\left( { - 12} \right){y_I} + 12;\left( { - 12} \right){z_I} + 12} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( { - 12} \right){x_I} = 0\\ \left( { - 12} \right){y_I} + 12 = 0\\ \left( { - 12} \right){z_I} + 12 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = 0\\ {y_I} = 1\\ {z_I} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right) \end{array}\)

Bán kính \(R = d\left( {I,{\rm{Ox}}z} \right) = \left| {{y_I}} \right| = 1\)

Phương trình mặt cầu nội tiếp có dạng:

\(x^2 + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(x-1)^2} = 1\)