Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 + t\\z = – 1 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\), \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc d, \(N\left( {4;4;1} \right)\). Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(P\left( {2 + t;2 + t; – 1 – 2t} \right) \in {d_1}\) và \(Q\left( {2 + 4t’;2 – 3t’;2 – t’} \right) \in {d_2}\overrightarrow {PQ} = \left( {4t’ – t; – 3t’ – t; – t’ + 2t + 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;1; – 2} \right), \overrightarrow b = \left( {4; – 3; – 1} \right)\) lần lượt là VTCP của \({d_1},\,\,{d_2}\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow {PQ} = 0\\\overrightarrow b .\overrightarrow {PQ} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t’ – t – 3t’ – t – 2\left( { – t’ + 2t + 3} \right) = 0\\4\left( {4t’ – t} \right) – 3\left( { – 3t’ – t} \right) – 1\left( { – t’ + 2t + 3} \right) = 0\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t’ – 6t = 6\\26t’ – 3t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t’ = 0\\t = – 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(P\left( {1;1;1} \right)\) và \(Q\left( {2;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {PQ} = \left( {1;1;1} \right)\).
Nên \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(M\left( {1 + t;1 + t;1 + t} \right)\) nên \(\overrightarrow {NM} = \left( {t – 3;t – 3;t} \right)\).
Do đó: \(NM = \sqrt {{{\left( {t – 3} \right)}^2} + {{\left( {t – 3} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {3{t^2} – 12t + 18} = \sqrt {3{{\left( {t – 2} \right)}^2} + 6} \ge \sqrt 6 \).
Đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng \(\sqrt 6 \) khi t = 2.
Suy ra \(M\left( {3;3;3} \right) \Rightarrow a + b + c = 9\).
