Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau \( y = \frac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} y = \frac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}} \Leftrightarrow 2y.\sin 2x - y.\cos 2x + 4y = \sin 2x + 2\cos 2x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x = 3 - 4y(*) \end{array}\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
\( {\left[ {\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)
Kết hợp với (*), ta được
\(\begin{array}{l} {\left( {3 - 4y} \right)^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0 \Leftrightarrow y \in \left[ {\frac{2}{{11}};2} \right] \end{array}\)
