Tìm m để bất phương trình \( y = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}}\) đúng với mọi (x thuộc R)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt
\(\begin{array}{l} y = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \cos 2x} \right) + 1}} = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}\\ \Leftrightarrow y.\sin 2x + 2y.\cos 2x + 3y = 3.\sin 2x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x = - 3y (*) \end{array}\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
\( {\left[ {\left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2}\)
Kết hợp với (*), ta được
\(\begin{array}{l} 9{y^2} \le \left( {y - 3} \right){{\mkern 1mu} ^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow y \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\\ \Rightarrow \max y = \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \end{array}\)
Để bất phương trình \(\begin{array}{l} y \le m + 1;x \in R \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4} \end{array}\)
